Tema II. Vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. También podemos definirlo como un objeto que tiene una longitud, dirección y sentido y que además va acompañado por una unidad de medición. Cada vector posee unas características que son:

·         Punto de aplicación: es el origen del vector.

·         Módulo: es la longitud de la flecha, medida en alguna escala.

·         Dirección: está indicada por la recta que contiene al vector.

·         Sentido: está señalado por la punta de la flecha (hacia abajo, arriba, izquierda, etc.).

·         Nombre: es la letra, signo o secuencia de signos que define al vector.

Sistema de coordenadas polares

A veces es más conveniente representar un punto en un plano por sus coordenadas polares planas (r, V). En este sistema de coordenadas polares, r es la distancia desde el origen hasta el punto que tiene coordenadas cartesianas(x, y) y V es el ángulo entre un eje fijo y una línea dibujada desde el origen hasta el punto. El eje fijo es el eje x positivo y V se mide contra el sentido de las manecillas del reloj desde el mismo.

Las coordenadas polares planas de un punto se representa mediante la distancia A y el ángulo θ, donde θ se mide contra el sentido de las manecillas del reloj desde el eje x positivo.

Se usa el triángulo rectángulo para relacionar (c, a) con (b, θ).

Cantidades vectoriales y escalares

Una cantidad escalar se especifica por completo mediante un valor único con una unidad adecuada y no tiene dirección. Algunos ejemplos de cantidades escalares son volumen, temperatura, masa, rapidez e intervalos de tiempo. Las reglas de aritmética ordinaria se usan para manipular cantidades escalares.

Una cantidad vectorial se especifica por completo mediante un número y unidades apropiadas más una dirección. Algunos ejemplos de una cantidad vectorial es el desplazamiento, velocidad, entre otros.

 

Algunas propiedades de los vectores

Igualdad de dos vectores: Para muchos propósitos, dos vectores  y   se definen como iguales si tienen la misma magnitud y si apuntan en la misma dirección. Esto es,  =  sólo si  =  y si  y   apuntan en la misma dirección a lo largo de líneas paralelas. Todos los vectores son iguales aun cuando tengan diferentes puntos de inicio. Dicha propiedad permite mover, en un diagrama, un vector a una posición paralela a sí mismo sin afectar al vector.

Vector equipolente

Son aquellos que tienen el mismo modulo, dirección y sentido; es decir, misma medida o magnitud, están en líneas paralelas y apuntan hacia el mismo lado.

Espacio vectorial

Conjunto de vectores que tienen definida las operaciones suma y multiplicación por un escalar. Debe poseer un vector nulo y por cada vector debe tener un opuesto.

 

X=0;  Nulo

A - A = A + (-1) A; Opuesto 

Vectores unitarios

Es un valor sin dimensiones que tiene una magnitud de exactamente uno (1). Los vectores unitarios se usan para especificar una dirección conocida y no tienen otro significado físico. Son útiles exclusivamente como una conversión para describir una dirección en el espacio. Se usaran los símbolos i, j, k y, para representarlos en el plano utilizaremos los ejes: x (i), y (j), z (k). 

Cálculos de vectores usando componentes

Podemos describir un vector plenamente dando su magnitud y dirección, o bien, sus componentes x y y. Estas ecuaciones nos permiten obtener la magnitud y la dirección a partir de los componentes. Aplicando el teorema de Pitágoras, vemos que la magnitud de un vector A es:

Esta ecuación es válida para cualquiera de los ejes x y, siempre y cuando sean perpendiculares entre sí. La expresión para la dirección vectorial proviene de la definición de la tangente de un ángulo. Si medimos ϴ como un ángulo positivo desde el eje +x hacia el eje +y entonces: